三角関数の最大・最小問題のコツ

最大・最小問題は変数を減らす

今日は高校2年生から質問されたこちらの問題を解いてみます。

$$以下の関数の最大値を求めよ。$$ $$y=\sin^2x + 4 \sin x \cos x +5\cos^2x (0 \leq x < 2π)$$

高校生の数学で扱う関数の最大値・最小値問題の最大のポイントは変数を減らすことにあります。

この問題であれば$\sin x$と$\cos x$の二つが変数となるので解きにくく見えてきます。

実際には$x$が変わっているだけではあるのですが、連動して異なる変化をしますので。

ここから$\sin^2x$と$\sin x \cos x$と$\cos^2x$を共通して表すことができる式変形を思い出してみましょう。

半角の公式が思い出せれば勝利です。

半角の公式

半角の公式を使いたいきっかけは、変数が積または平方の形になっている点だと覚えておきましょう。

2次の式を1次の式に次数を下げることができて、計算がグッと楽になります。

半角の公式は覚えておくべきですが、倍角の公式から導出する練習もしておきましょう。

$$半角の公式$$ $$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ $$\sin x \cos x=\frac{\sin2x}{2}$$ $$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

半角の公式を使えば、これらが全て同じ変数$2x$で表せるようになります。

$$y=\frac{1-\cos 2x}{2}+4\times\frac{\sin2x}{2}+5\times\frac{1+\cos 2x}{2}$$ $$=3+2\cos 2x+2\sin2x$$

ここで$\sin 2x$と$\cos 2x$の一次式に変形できました。

三角関数の合成

次は三角関数の合成をすれば、さらに変数を減らすことができます。

基本的に三角関数の合成は最後の仕上げに使うことが多いです。

焦って使わないようにしましょう。s

$$三角関数の合成$$ $$a\sin \theta + b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2} \sin (\theta +\alpha)$$ $$ \alpha:\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

これを利用して、以下のように変形できます。

$$y=\frac{1-\cos 2x}{2}+4\times\frac{\sin2x}{2}+5\times\frac{1+\cos 2x}{2}$$ $$=3+2\cos 2x+2\sin2x$$ $$=2\sqrt{2} \sin (2x+\frac{π}{4})+3$$

あとは$0 \leq x < 2π$より$0 \leq 2x < 4π$で$\frac{π}{4} \leq 2x+\frac{π}{4} < \frac{17π}{4}$を利用すれば、最大値も最小値も求められます。

公式は使い所を言語化しておく

正解の数値についてはここでは省略しておきます。

この問題から学ぶべきことは、公式を使うタイミングの見極め方です。

何を目指してどの公式を使うのか？を問題に与えられた設定から言語化しておきましょう。

なんとなく使っては再現性も汎用性も高くなりません。

なぜそう解こうと思うのか？を言葉で説明できれば、解ける問題がグッと増えます。