基礎基本で解く県相のテスト問題

2023年5月27日

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青木学院塾長

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県相の因数分解

県立相模原高校1年生の中間テストの問題で、ちょっと正解率が低そうだった問題です。

以下の式を因数分解するものです。

$$x^3+y^3-3xy+1$$

ものすごくシンプルに解くなら、公式とされるものを暗記しておくことで対応できます。

$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$

この式の$z=1$と考えれば以下のようになります。

$$(与式)=x^3+y^3+1-3xy=(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-y-x)$$

3項とも文字で与えられれば迷わないでも、数字になると途端に面食らう人もいますね。

この解放で解く判別のポイントとしては、以下のように考えることもできます。

3次ないし3乗の項が3つあること
4項の式であること
うち1つは3の倍数係数を持っていること

この辺りを言語化できるぐらいを目指したいです。

なんとなく雰囲気で、ではなく形を説明できるレベルですね。

別解　共通因数でくくることを考える

では公式を覚えていないと解けないのでしょうか。

そんなつまらないことを言うなら、青木学院でなくてもいいですね。

因数分解はつまるところ共通因数でくくっていくことで解けるものです。

これを強く意識して答案を書いてみましょう。

まずは与式で3次と2次の項に注目すれば以下のように書けます。

$$(与式)=x(x^2-y)+y(y^2-x)-xy+1　①$$

与式は$x$と$y$の対称式ですから、$x(x^2-3y)$としてしまうとバランスが崩れますからね。

ここで共通因数を強引につくっていきます。

等号を維持するためには、強引に作った共通因数の$(x^2+y^2-x-y)$の$(y^2-x)$や$(x^2-y)$を打ち消す必要があります。

それが$(x^2+y^2-x-y)-(y^2-x)$や$(x^2+y^2-x-y)-(x^2-y)$の部分になります。

これを展開したのが上の式の3行目になります。

そして共通因数$(x^2+y^2-x-y)$でくくったのが④です。

ここで因数分解できた$(x+y)(x^2+y^2-x-y)$とまだ因数分解できていない$-xy^2+x^2-x^2y+y^2-xy+1$を見比べます。

そうすると、⑤以降の工夫を発見できます。

$$(与式)=x(x^2-y)+y(y^2-x)-xy+1　①$$ $$=x\{(x^2+y^2-x-y)-(y^2-x)\}+y\{(x^2+y^2-x-y)-(x^2-y)\}-xy+1　②$$ $$=x(x^2+y^2-x-y)+y(x^2+y^2-x-y)-xy^2+x^2-x^2y+y^2-xy+1　③$$ $$=(x+y)(x^2+y^2-x-y)-xy^2+x^2-x^2y+y^2-xy+1　④$$ $$=(x+y)(x^2+y^2-x-y)-xy(x+y+1)^2+x^2+y^2+1　⑤$$ $$=(x+y+1)(x^2+y^2-x-y)-(x^2+y^2-x-y)-xy(x+y+1)^2+x^2+y^2+1　⑥$$

$(x+y+1)$を共通因数とできるように式を変形したのが⑥です。

ここから共通因数$(x+y+1)$で前半をくくりつつ、後半を整理します。

$$(与式)=x(x^2-y)+y(y^2-x)-xy+1　①$$ $$=x\{(x^2+y^2-x-y)-(y^2-x)\}+y\{(x^2+y^2-x-y)-(x^2-y)\}-xy+1　②$$ $$=x(x^2+y^2-x-y)+y(x^2+y^2-x-y)-xy^2+x^2-x^2y+y^2-xy+1　③$$ $$=(x+y)(x^2+y^2-x-y)-xy^2+x^2-x^2y+y^2-xy+1　④$$ $$=(x+y)(x^2+y^2-x-y)-xy(x+y+1)^2+x^2+y^2+1 ⑤$$ $$=(x+y+1)(x^2+y^2-x-y)-(x^2+y^2-x-y)-xy(x+y+1)^2+x^2+y^2+1　⑥$$ $$=(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y)-x^2-y^2+x+y+x^2+y^2+1　⑦$$ $$=(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y)+(x+y+1)　⑧$$ $$=(x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1)　⑨$$

すると⑦後半の同類項を整理することで、⑧のように$(x+y+1)$が再び現れます。

よって⑨の形に因数分解できるわけです。