循環小数に関わる大きい数の約分のコツ

循環小数のテストでよく出る問題

中学3年生が循環小数の学習をしています。

循環小数でよくある問題が、循環小数を分数で表すタイプのものです。

$$x=0.\dot{6}2\dot{9}$$

このxを分数で表現してみましょう。

循環する部分が1桁ならば9、2桁ならば99、3桁ならば999で割った形式で表せます。

$$x=\frac{629}{999}$$

ここまでは教科書を読めば迷わず来られるはずです。

大きい数の約分のコツ

問題はこれが約分できるかどうかの判別です。

おそらく大半の中3は9までの倍数判別ができるでしょう。

できない方は全く基礎力が足りませんので、すぐに指導者に相談してください。

小学6年生レベルですのでね。

さて、小6レベルをクリアした中3はここで9までの倍数判別を行い、約分できないと考えます。

そして減点されます。

実はこれは約分可能なのです。

どのようにして考えていくかを説明しましょう。

分母と分子で倒しやすい方から叩け

まず分母と分子、どちらから注目するかです。

この問題であれば、分子が何で割れるかがちょっと分かりにくいです。

分母の方が因数分解しやすいので、そちらから確認します。

目標は2桁の素数

目安としては「2桁の素数が出るまで割れ！」です

まずは999と見えるので、どうあっても9で割りたくなります。

$$999=9\times111$$

111の各位の数の和が3ですから、111は3で割り切れます。

$$999=9\times3\times37=3^3\times37$$

37は素数ですので、ここで打ち止めです。

50までの素数はすぐに確認できるようにしておくとここで便利です。

この因数分解から、もし約分できるならば分子の629が37で割り切れることが予想できます。

ここは頑張って筆算してみましょう。

$$629=17\times37$$

ということで、分母分子が37で割り切れると確認できました。

$$x=\frac{629}{999}=\frac{17\times37}{3^3\times37}=\frac{17}{27}$$

このように、因数分解しやすい数から因数分解して、約分する際の共通因数の候補を確認しましょう。

地道な確認のための堅実な行動もまた、計算の基本なのです。